Temperatura superficial de un planeta, 3ra parte

Llega el fin de nuestra trilogía sobre la temperatura orbital. En la primera parte, calculamos la energía solar que recibe la Tierra, y en la segunda parte, estimamos cual sería la temperatura de la Tierra si no estuviera el Sol.

En esta tercera parte calcularemos (¡por fin!) la temperatura de equilibrio. Hemos determinado ya que cada segundo la Tierra recibe $1.74 \times 10^{17}$ J. ¿Qué hace la Tierra con esta energía? En pocas palabras, se calienta. Y sabemos que un cuerpo caliente radia energía de acuerdo a la ley de Stefan-Boltzmann (¡la energía radiada aumenta con la cuarta potencia de la temperatura!). Supongamos que la Tierra tiene una temperatura $T_\oplus$ y que se comporta como un cuerpo negro (una suposición más que razonable a este nivel), entonces la potencia radiada al espacio (en general se usa la letra $L$ por luminosidad) es :

\[L_{emit} = \left(4 \pi R_\oplus^2\right) \sigma T_\oplus^4\]

donde $\sigma$ es la constante de Stefan-Boltzmann y $\left(4\pi R_\oplus^2\right)$ es la superficie de la Tierra (aquí consideramos la superficie total de la Tierra y no sólo su sección transversal como en el caso de la energía absorbida).

La situación de equilibrio se da cuando la energía absorbida es igual a la energía radiada. Si hubiera un desequilibrio, los parámetros se ajustarán de forma tal de llegar a una nueva condición. Supongamos por ejemplo que por alguna razón aumenta la luminosidad solar $L_\odot$. En este caso, la energía que recibe la Tierra será mayor y esto lleva a un incremento de la temperatura, lo cual implica un aumento en la energía radiada. Esta condición de equilibrio es por tanto estable. Entonces:

\[E_{abs} = E_{emit}\]

Recordemos la expresión para $E_{abs}$ obtenida en la primera parte:

\[E_{abs} = \frac{L_\odot t}{4}\left ( \frac{R_\oplus}{R_{UA}\right )^2}\]

y puesto que Luminosidad es energía por unidad de tiempo,

\[L_{abs} = \frac{L_\odot}{4}\left ( \frac{R_\oplus}{R_{UA}\right )^2}\]

Por lo tanto, nuestra condición de equilibrio se da cuándo:

\[L_{abs} = L_{emit}\]

\[\frac{L_\odot}{4}\left ( \frac{R_\oplus}{R_{UA}\right )^2} = \left(4 \pi R_\oplus^2\right) \sigma T_\oplus^4\]

y luego despejando la temperatura $T_\oplus$ tenemos:

\[T_\oplus = \sqrt[4]{\frac{L_\odot}{16\pi\sigma}\frac{1}{R_{UA}^2}}\]


Antes de poner números, adelantemos algunas conclusiones:

  • La temperatura es independiente del tamaño del planeta (notar que $R_\oplus$ se cancela)
  • Aumenta con la raíz cuarta de la Luminosidad solar, y disminuye con la raíz cuadrada de la distancia.
  • La ecuación es valida para cualquier sistema estrella-planeta, y se usa entre otras cosas para determinar la llamada "zona de habitabilidad", definida como la región orbital en la cual la temperatura hace que el agua permanezca líquida (entre 0°C y 100°C).

Ahora si, develemos el misterio:

\[ T_\oplus = \sqrt[4]{\frac{3.85 \times 10^{26} \mathrm{W}}{(16\pi) (5.67\times 10^{-8} \mathrm{W} \mathrm{m}^{-2} \mathrm{K}^{-4}) (1.5\times 10^{11} \mathrm{m})^2}}\]
\[ T_\oplus = 278 \mathrm{K} = 5 ^\mathrm{o}\mathrm{C}\]

Resultado más que impresionante, ¿no les parece?

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