De la Tierra a la Luna

Uno de los logros más impresionantes en la historia de la humanidad es, sin lugar a dudas, la llegada del hombre a la Luna, nuestro satélite natural que se encuentra a 384.000 km.

No es un viaje sencillo, puesto que entre muchas otras cosas, es necesario lograr vencer, al menos en parte, la atracción gravitatoria terrestre. Claro que la Luna nos ayuda un poco, entonces, podríamos preguntarnos, ¿hasta que punto uno debe "subir" desde la superficie de la Tierra antes de empezar a "caer" hacia la superficie de la Luna?
Hagamos la cuenta escuchando la genial interpretación de Frank Sinatra de Fly me to the moon.








Antes de empezar, debemos tener presente que el cálculo completo es bastante más complejo de lo que veremos aquí, puesto que existen otros factores que intervienen, como la rotación del sistema Tierra-Luna en torno al centro de masas común.

Pero entonces, ¡dejemos de lado los detalles y evaluemos los órdenes de magnitud!

Pongamos entonces una sonda lunar de masa $m$ sobre la línea que une los centros de la Tierra ($\oplus$) y la Luna ($L$), a una distancia $r$ del centro de la Tierra. En este caso, Sir Isaac nos dice que sobre la sonda están actuando dos fuerzas con igual dirección, sentidos contrarios y magnitudes

\[ F_\oplus = G \frac{M_\oplus m}{r^2}\]
\[F_L = G \frac{M_L m}{(d-r)^2}\]

siendo $G$ la constante de gravitación universal y $d$ la distancia de la Tierra a la Luna.

Para alcanzar la Luna, la sonda debe ser capaz de
vencer la atracción de la gravedad terrestre, pero recibe una pequeña ayuda: la gravedad lunar que la atrae. El punto que nos interesa encontrar es aquel donde ambas fuerzas de atracción se igualan, es decir, hay una distancia $r_0$ para la cual ambas fuerzas $F_\oplus$ y $F_L$ son iguales en magnitud. Entonces:

\[ F_\oplus = F_L \]
\[G \frac{M_\oplus m}{r^2} = G \frac{M_L m}{(d-r)^2}\]

simplificando y agrupando algunas cosas:

\[ \frac{(d-r)^2}{r^2} = \frac{M_L}{M_\oplus}\]
\[ \left ( \frac{d-r}{r} \right)^2 = \frac{M_L}{M_\oplus}\]
\[ \frac{d}{r} -1 = \pm \sqrt{\frac{M_L}{M_\oplus}}\]
\[ r = \frac{d}{1 \pm \sqrt{\frac{M_L}{M_\oplus}}}\]

Como en toda cuadrática, tenemos dos posibles soluciones. ¿Cuál de las dos nos interesa? En este caso nos importa la solución asociada al signo positivo (¡la otra queda del otro lado de la Luna!). Poniendo los valores de las masas, obtenemos el resultado buscado:

\[ r = 0.9 d = 346028 km\]

No es de extrañar que hayan tenido que usar un cohete como el Saturno V: 10 metros de diámetro, 110 metros de alto, y capaz de situar 45000 kilogramos de carga útil en órbita lunar.

Seguiremos en una próxima entrada....

3 comentarios:

  1. No entiendo como pueden compensarse las fuerzas del otro lado de la luna.

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  2. Tu planteo es razonable, puesto que no es obvio que exista otro punto para el cual las fuerzas se igualan.
    Para considerar eso hay que ver la otra solución, la que sale al considerar el signo negativo en la ecuación para r. En este caso, tomando el signo negativo obtenemos:

    r = 1.125 d = 432351 km

    Al utilizar este nuevo valor de r en las expresiones para las fuerzas de atracción ejercidas por la Luna y por la Tierra arroja el mismo valor en ambos casos.

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  3. Claro, el tema es que del otro lado de la luna hay un punto donde la atracción hacia la luna tiene la misma intensidad Y EL MISMO SENTIDO que la fuerza de atracción hacia la Tierra. En el punto ubicado a aprox. 0.9d de la Tierra, entre la Tierra y la Luna, las fuerzas tienen sentidos opuestos.
    Sería mas evidente si se utilizaran ecuaciones vectoriales. En ese caso la solución al problema "punto donde la fuerza resultante=0" es única.
    Para complicar un poco más la cosa se puede hacer mención a la existencia de los Puntos de Lagrange, vean http://es.wikipedia.org/wiki/Puntos_de_Lagrange

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